Մաթեմատիկան մեր շուրջը

Ֆիբոնաչիի հաջորդականության մասին

Մոտավորապես մ. թ. 1200թ-ին իտալացի գիտնական Լեոնարդո Պիզանոն՝ առավել հայտնի Ֆիբոնաչի անունով, հայտնաբերեց մի թվային հաջորդականություն, որը իրենից ներկայացնում է մի շատ հետաքրքիր համակարգ: Այն ունի հետևյալ տեսքը.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Հաջորդականության յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ՝ սկսած 3-րդից հավասար է իրեն նախորդող 2 անդամների գումարին:

Այն ուղղանկյունը, որի կողմերի երկարությունները հավասար են Ֆիբոնաչիի հաջորդահանության 2 իրար հաջորդող անդամների, իրենից ներկայացնում է այսպես կոչված <<Ոսկե ուղղանկյուն>> կամ իդեալական ուղղանկյուն: <<Ոսկե ուղղանկյունը>> միշտ կարելի է բաժանել քառակուսիների, որոնց կողմերի երկարությունները հավասար կլինեն հաջորդականության ընտրված անդամներին նախորդող անդամներին: Օրինակ 8 և 13 կողմերով ուղղանկյունը կարելի է բաժանել 5, 3, 2, 1, 1 կողմերով քառակուսիների:

Եթե անցկացնենք կոր այդ քառակուսիների անկյուններով, ապա կստանանք Արքիմեդի (կամ Ֆիբոնաչիի) պարույրը: Պարույրը առանձին վերցված իրենից ոչ մի հետաքրքրություն չի ներկայացնում. առավել հետաքրքիր է այն, թե որտեղ մենք կարող ենք հանդիպել նրան:

Օրինակ վերցնենք արևածաղիկը: Նրա սերմերի դասավորությունը 55, 34 և 21 կողմերով քառակուսիներից ստացված պարույրների իդեալական հաջորդականություն է:

Անանասի կեղևի վրա ճիշտ նույն պարույրներից են:

Ծովի ալիքները, մոտենալով ափին, կորանում են՝ ստեղծելով պարույրներ, որոնք կարել է մաթեմատիկորոն ճշգրիտ գծել 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 թվերով ստացված պարույրների միջոցով:

Բույսեր, կենդանիներ, մարդու մարմին և նույնիսկ տիեզերքում 100.000-ավոր լուսատարի հեռավորության վրա գտնվող գալակտիկաների պարույրները կազմված են բացարձակապես նույն սկզբունքով:

Այսպիսով, ուսումնասիրելով ողջ բնությունը՝ ամենափոքր ծաղկից մինչև հսկա գալակտիկաներ, մենք միշտ հանդիպում ենք Ֆիբոնաչիի հաջորդականությանն ու դրա միջոցով ստացված պարույրներին:

Ո՞վ գիտե, իսկ միգուցե դրանք իրոք տիեզերքի արարչի՝ Աստծո մատնահետքեր՞ն են…

Թվաբանական պրոգրեսիայի մասին

Թվաբանական պրոգրեսիա անվանում են այն թվային հաջորդականությունը, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է իր նախորդին գումարած միևնույն թիվը:

Եթե {an}-ը թվաբանական պրոգրեսիա է, ապա ցանկացած n բնական թվի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝  an+1=an+d

d  թիվը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերություն:

Եթե հայտնի են թվաբանական պրոգրեսիայի a1 առաջին անդամը և d տարբերությունը, ապա կարելի է հաշվել պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ:

 a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d  a4=a3+d=a1+3d 

րոգրեսիայի n-րդ անդամը  a1  առաջին անդամով  և  d տարբերությամբ արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով՝  an=a1+d(n−1)Այս բանաձևը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձև:  

Այն օգտագործվում է թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ (օրինակ՝ տասներորդը, հարյուրերորդը և այլն) անդամը հաշվելու համար, եթե հայտնի են պրոգրեսիայի առաջին անդամն ու տարբերությունը:

Երկրաչափական պրոգրեսիայի մասին

Երկրաչափական պրոգրեսիաներում միմյանց հաջորդող անդամների միջև հարաբերությունը միշտ նույնն է։Հաջորդ և նախորդ անդամների հարաբերությունը սկսած երկրորդից անվանում ենք հայտարար։

Օրինակ՝ հետևյալ հաջորդականության ընդհանուր հարաբերությունը 222 է․

Երկրաչափական պրոգրեսիայի բանաձևով գտնում ենք a(n)-ը հաջորդականության n-րդ անդամը:

Սա երկրաչափական պրոգրեսիայի անալիտիկ բանաձևն է, որի առաջին անդամը k-է, իսկ ընդհանուր հարաբերությունը՝r-ը.

a(n)=k⋅ r{n-1}

Սա հաջորդականության ռեկուրենտ բանաձևն է․

a(1)=k

a(n)=a(n-1)⋅r